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生物剂量估算在辐射应急中具有重要的价值，外周血淋巴细胞染色体畸变分析是辐射生物剂量估算的金标准方法[1]，剂量-效应曲线反映染色体畸变与受照剂量之间的定量关系，是生物剂量估算的重要依据。在生物剂量估算的实践中，剂量-效应曲线的建立需要经过比较复杂的计算过程，用于拟合曲线的数学或者统计学软件工具很多，如SPSS、SAS、Matlab、Origin、CurveExpert等等[2-5]，也有染色体畸变剂量效应曲线拟合和剂量估算的专业软件CABAS [6]等。Excel作为常用的办公软件，普及率高，在曲线拟合方面有其操作方便的天然优势，据此，我们用Excel建立了基于最小二乘法和最大似然法拟合辐射剂量-效应曲线的方法，用以辅助剂量-效应曲线的建立，现将结果报告如下。
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原始数据来自深圳市职业病防治院病理毒理所2014年建立的辐射剂量效应曲线项目：全血样品在中国疾病预防控制中心辐射防护与核安全医学所二级标准剂量学实验室离体照射，照射源为60Co γ射线，照射剂量率为0.30 Gy/min。照射0 Gy、0.25 Gy、0.50 Gy、0.75 Gy、1.00 Gy、2.00 Gy、3.00 Gy、4.00 Gy、5.00 Gy共9个剂量点，照射后的全血样品按本实验室的方法[7]进行细胞遗传学培养和制片后，普通生物显微镜分析染色体双着丝粒加着丝粒环（dic + r）的畸变率。
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新建工作表“数据”，如图 1（A）所示，在A-E列分别输入编号、照射剂量（D）、分析细胞数、畸变细胞数、dic + r数。依据“需分析细胞数”的计算公式[8-9]：
$$ n=(1-p) \times 96.04 / p $$ (1) 
图 1 曲线拟合方法工作表的格式设计
式中，n为需分析的细胞数，p为畸变细胞率。在F3单元格输入计算公式“ = 96.04*（1-D3/C3）/（D3/C3）”，计算需分析的细胞数。
$$ p=x / n \times 100 \% $$ (2) 式中，n为分析细胞数，p为畸变细胞率，x为含畸变的细胞数。在G3单元格输入计算公式“ = E3/C3*100”，计算每100个细胞中（dic + r）的数量，得到畸变率（Y）；向下填充至第11行，自动计算所有样品的需分析细胞数和畸变率。
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新建工作表“拟合”，如图 1（B）所示，B列用公式“ =数据!B2”提取照射剂量（D）数据，C列用“ = B2^2”公式求照射剂量的平方，D列用公式“ =数据!G2”提取的畸变率（Y）的数值，E列用“ = LOG（B2）”函数求照射剂量的对数，F列用“ = LOG（D2）”函数求畸变率的对数；向下填充至第10行，自动计算所有数据。如图 1（B）所示，在工作表的14 ~ 17行（或其他位置）列出拟合曲线的参数表，用LINEST和INDEX组合函数分别算出直线方程[8-9]y = a + bD、二次多项式y = a + bD + cD2、二次方程y = a + cD2和幂函数y = axb拟合曲线的系数以及拟合曲线的决定系数（R2），其计算公式组合见表 1。
表 1 参数的公式组合列表
曲线类型 参数“公式组合” 直线方程 b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），1，1）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），1，2）” R2 “ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），3，1）” 二次多项式 c“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，1）” b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，2）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，3）” R2 “= INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），3，1）” 二次方程 b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），1，1）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），1，2）” R2 “ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），3，1）” 幂函数 b“ = INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），1，1）” a“ = 10^（INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），1，2））” R2 “ = INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），3，1）” 注：工作表“拟合”中单元格名称定义为：D_Y（D2：D10）、D_1（B2：B10）、D_12（B2：C10）、D_2（C2：C10）、D_GD（F3：F10）、D_GY（E3：E10），b为曲线的系数，a为曲线的常数，c为二次多项式二次项的系数。 -
参考文献[6, 10]中介绍的最大似然法——迭代重加权最小二乘法（iteratively reweighted least squares，IRLS），其剂量效应曲线参数方程的解法为$\hat{\beta} $（a，b，c）=（XTV0-1X）- 1XTV0-1y，在“数据”工作表中建立相应的矩阵并定义矩阵的名称，如图 2，其中矩阵M_V0是基于每个剂量点平均畸变的对角矩阵，第一次拟合曲线参数的计算公式为“= MMULT（MMULT（MMULT（MINVERSE（MMULT（MMULT（M_XT，MINVERSE（M_V0）），M_X）），M_XT），MINVERSE（M_V0）），M_y0）”（公式A）。矩阵Vj（j = 1，2，…）是以第j次拟合参数计算的畸变率与分析细胞数的商，引用其结果建立对角矩阵M_Vj（j = 1，2…），矩阵V1计算公式为“=MMULT（M_X，L3：L5）/M_N”，公式中“L3：L5”为第1次拟合参数所在单元格，矩阵V2的计算公式用第2次拟合参数所在“M3：M5”，以此类推，而第j + 1次曲线拟合的计算公式只需将公式A中的M_V0换成M_Vj（j = 1，2…）即可，本文方法建立的Excel表格设计了10次迭代计算，最终结果存贮于“U3：U5”。
图 2 最大似然法曲线拟合的格式设计
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将本实验室照射剂量和染色体畸变数据输入SPSS 19.0，以照射剂量为预测变量，染色体畸变率为响应变量，进行曲线估计的回归分析，得出二次多项式、二次方程、直线方程和幂函数的拟合参数，并比较用SPSS 19.0软件与本文Excel软件最小二乘法拟合所得曲线的差别；将照射剂量、分析细胞数和染色体畸变数据输入CABAS软件，拟合剂量效应曲线，比较与本文Excel软件最大似然法拟合所得曲线的差别。
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将文献《人类辐射细胞遗传学》 [8]中“剂量-效应曲线数学模式拟合举例”的照射剂量和“dic+r”/细胞的数据录入本文设计的“拟合”工作表，拟合4种数学模式的剂量-效应曲线，对比本文Excel软件最小二乘法拟合曲线与文献中报道曲线；将陆雪等[10]文献中剂量-效应曲线建立的数据录入本文设计的“数据”工作表，对比本文Excel软件最大似然法拟合曲线与文献中报道曲线。
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将本实验室剂量-效应曲线数据录入本文设计的Excel表格，用最小二乘法法拟合得到的4种类型曲线分别为直线方程$ \hat{y}$= 0.566 4 D - 0.242 5、二次多项式$ \hat{y}$= 9.469 8 × 10-2 D2 + 11.141 3 × 10-2 D + 3.804 6 × 10-3、二次方程$\hat{y} $= 11.638 6 × 10-2 D2 + 7.341 4 × 10-2、幂函数$\hat{y} $= 0.221 8 D1.570 6，与SPSS 19.0软件拟合的曲线完全一致；用最大似然法拟合的二次多项式曲线为$\hat{y} $=10.382 3 × 10-2 D2 +8.621 5 × 10-2 D + 4.942 2 × 10-3，与CABAS软件拟合的曲线相同。见表 2。
表 2 Excel方法与其他软件所得拟合曲线参数比较
曲线类型 拟合方法 参数 a b c 直线方程
y=a+bD方法1 - 0.242 5 0.566 4 方法2 - 0.242 5 0.566 4 二次多项式
y=a+bD+cD2方法1 3.804 6 × 10-3 11.141 3 × 10-2 9.469 8 × 10-2 方法2 3.804 6 × 10-3 11.141 3 × 10-2 9.469 8 × 10-2 方法3 4.942 2 × 10-3 8.621 5 × 10-2 10.382 3 × 10-2 方法4 4.942 2 × 10-3 8.621 5 × 10-2 10.382 3 × 10-2 二次方程
y=a+ cD2方法1 7.341 4 × 10-2 11.638 6 × 10-2 方法2 7.341 4 × 10-2 11.638 6 × 10-2 幂函数y=axb 方法1 0.221 8 1.570 6 方法2 0.221 8 1.570 6 注：方法1为Excel软件最小二乘法，方法2为SPSS 19.0曲线估计，方法3为Excel软件最大似然法，方法4为CABAS曲线拟合。 -
将文献[8]中的数据录入本文设计的Excel表格，Excel表格拟合的曲线与文献最终拟合的曲线比较见表 3。Excel最小二乘法拟合的直线方程和二次方程与文献中的方程完全一致，幂函数和二次多项式与文献中的方程的参数基本一致，文献中给出的二次多项式方差分析的F值与LINEST函数给出的F值也基本一致；Excel最大似然法拟合的二次多项式曲线与文献[10]中的曲线一致。以上数据表明在处理其他实验室剂量效应曲线数据时，Excel表格的拟合方法同样有效。
表 3 Excel方法拟合曲线与文献中曲线的比较
曲线类型 数据来源 参数 a b c R2 直线方程y=a+bD 方法1 - 0.232 4 0.428 9 0.938 2 文献A[8] - 0.232 4 0.428 9 0.938 2 二次多项式①y=a+bD+cD2 方法1 7.349 8 × 10-3 3.403 9 × 10-2 8.039 7 × 10-2 0.998 3 文献A[8] 7.351 2 × 10-3 3.403 7 × 10-2 8.039 7 × 10-2 0.998 3 二次方程y=a+cD2 方法1 3.186 × 10-2 8.684 × 10-2 0.997 9 文献A[8] 3.186 × 10-2 8.684 × 10-2 0.998 0 幂函数y=axb 方法1 0.1139 1.843 6 0.996 0 文献A[8] 0.1139 1.843 7 0.997 1 二次多项式y=a+bD+cD2 方法2 9.716 9 × 10-4 3.846 7 × 10-2 7.202 8 × 10-2 文献B [10] 9.72 × 10-4 3.85 × 10-2 7.20 × 10-2 注：方法1为Excel软件最小二乘法，方法2为Excel软件最大似然法；①方法1计算的F = 1 206.479 8，文献中给出的F = 1 204.882 4。 -
世界卫生组织（WHO）于1973年提出了辐射剂量-效应曲线的4种常用数学模式[8]：线性模式、二次方程模式、二次多项式模式和幂函数模式，在辐射剂量-效应曲线拟合的实践中以二次多项式模式最为常见。辐射生物剂量-效应曲线拟合的方法有很多，常用的有最小二乘法和最大似然法，基于这两种方法也都有相应软件的开发，国内学者用VC软件设计了辐射生物剂量估算工具BioDoser软件[11]，其拟合曲线的方法为最小二乘法，而CABAS拟合曲线的方法是最大似然法。CABAS在国内外辐射剂量曲线拟合和剂量估算中有广泛的应用，然而CABAS只有二次多项式这一种曲线拟合的方式，而现行国家标准GB/T 28236《染色体畸变估算生物剂量方法》 [9]要求根据4种数学模式进行曲线拟合，实际工作中可能在不同剂量区间存在不同数学模式的剂量效应曲线[12]，单纯使用CABAS就忽略了其他三种数学模式的使用。再者，CABAS和BioDoser等专业软件虽然免费，但软件获取并不容易，软件的更新需要专门的软件工程师来完成，可拓展性不强，也远不及Excel软件普及度高。
本文介绍的Excel拟合辐射剂量-效应曲线的方法，兼顾最小二乘法和最大似然法两种二次多项式的拟合方法，同时提供最小二乘法的直线方程、二次多项式、二次方程、幂函数等4种曲线类型，只需输入数据，便可直接拟合出相应曲线。除了给出最终的剂量-效应曲线的参数，本方法还增加了染色体需分析细胞数的辅助计算功能，在单元格内录入计算公式，只要输入分析细胞数和畸变细胞数，便可自动提示染色体畸变分析过程中需分析的细胞数。在表格的格式设计中，将需录入数据的“照射剂量”“分析细胞数”“畸变细胞数”“dic+r”单元格填充背景色，并将有计算公式的单元格设为保护并锁定单元格，可以有效防止数据的错误录入。本文介绍的是9个数据点的剂量-效应曲线的拟合方法，对于少于9个或多于9个数据点可以用同样的原理改变单元格名称定义，改变数据引用范围即可实现，保存文件可用于下次同样多数据点的剂量效应曲线拟合，可实现超过20个、50个或者更多数据的曲线拟合。
LINEST函数是Microsoft Excel自带的统计函数，该函数使用最小二乘法计算数据的最佳拟合曲线[13]，函数的语法为LINEST（known_y’s，[known_x’s]，[const]，[stats]），拟合曲线的公式为：“y=mx+b”或“y=m1x1+m2x2+...+b”。LINEST函数以数组形式返回拟合曲线的回归统计值，数组为{mn，mn-1，...，m1，b；sen，sen-1，...，se1，seb；r2，sey；F，df；ssreg，ssresid}，包含系数及其标准误、常量及其标准误、决定系数、方差分析F值等统计数据。LINEST函数不仅可用于直线方程的拟合，用平方、三次方、对数等对数据进行前期转换，即可拟合出二次方程、二次多项式、三次多项式、幂函数等多种曲线。LINEST函数的返回值是一个数组，选择区域用“Ctrl+Shift+Enter”组合键以数组公式的形式输入，可以显示全部参数值。INDEX函数可返回表格或数组中的元素值，函数语法是INDEX（array，row_num，[column_num]），用INDEX函数嵌套LINEST函数INDEX（LINEST（...），...）可以显示LINEST函数返回数组的具体参数值。
最大似然法中剂量-效应曲线的参数求解过程需要用到矩阵的计算，本文应用到Microsoft Excel数学与三角函数中的矩阵乘积函数MMULT和逆距阵函数MINVERSE来完成计算。MMULT函数的语法为MMULT（array1，array2），MINVERSE的语法为MINVERSE（array），array可以是单元格区域、数组常量或单元格区域和数组常量的名称，本文设计的公式组采用的是单元格区域的名称，便于公式的理解和公式的复制和移植，MMULT和MINVERSE公式返回结果为数组，必须以数组公式的形式输入。文中的公式A是根据曲线参数方程的解法组合了5个MMULT和3个MINVERSE函数，直接解出方程。本文设计的方法应用矩阵Vj重复迭代10次，得到与CABAS小数点后9位上的数字完全一致，而其第一次迭代前拟合的曲线与最小二乘法的参数相差很小。
本文设计的Excel表格方法拟合的曲线与用SPSS 19.0软件和CABAS软件拟合的曲线结果高度类同。在处理其他实验室剂量-效应曲线数据时，Excel最小二乘法拟合的直线方程和二次方程与文献[8]中的方程完全一致，幂函数和二次多项式与文献中的方程的参数基本一致，部分参数的细微差异可能来源于计算过程中数据保留的小数位不同。用本实验室剂量-效应曲线数据，可以拟合得到与专业软件相同的剂量-效应曲线，证明本文设计的Excel表格拟合曲线的方法可靠；验证文献中剂量-效应曲线，也能得到一致的结果，说明Excel表格的拟合方法用于其他实验室数据同样有效。用本文设计的方法验证文献中曲线拟合示例的结果，最小二乘法拟合4种类型剂量效应曲线，绝大部分的参数是完全一样的，只有小部分的参数在第4位有效数字上存在差异，验证的最大似然法拟合曲线的参数是完全一致的。
辐射生物剂量曲线在辐射事故剂量估算中必不可少，全国生物剂量估算能力考核也提倡实验室建立自己的剂量-效应曲线[14]。应用Excel辅助建立辐射生物剂量-效应曲线不需要另外安装其他软件，易于实施，同时软件的更新与拓展不需要专业的软件编程能力，只需知道曲线拟合的剂量估算的原理和方法即可。前期工作中，本文作者根据泊松分布的原理和计算方法，用Excel建立了泊松分布可信区间的算法，并应用于辐射生物剂量估算，取得了与专业软件一致的结果[15]。本文设计的曲线拟合的Excel表格在设计上仍存在不少改进的空间，如数据录入时可参考文献给出每个剂量点的“双着丝粒细胞分布”、计算离散指数、进行U检验以及对拟合系数进行卡方、F检验等。Excel自带的函数和自定义公式功能可解决很多计算和统计的问题，函数嵌套和分步骤计算可建立很复杂的处理过程，除了拟合辐射生物剂量曲线，通过设计也可以完成剂量估算的计算过程，方便实验室生物剂量估算，特别适合大批量样品的估算。
采用Excel软件拟合辐射生物剂量-效应曲线的方法初探
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目的 探讨采用Excel软件拟合辐射生物剂量-效应曲线的方法。 方法 基于最小二乘法和最大似然法的原理，在Excel中建立数据输入的方法，设计数据处理的公式，用最小二乘法函数拟合4种常用的辐射生物剂量-效应曲线，用最大似然法拟合二次多项式曲线，并分别与SPSS软件和CABAS软件拟合曲线比较；用Excel拟合曲线的方法验证教材和权威学术期刊中剂量-效应曲线拟合的示例，比较最小二乘法和最大似然法拟合的二次多项式曲线在剂量估算模拟应用上的差异。 结果 用Excel设计的最小二乘法拟合出4种常用的辐射生物剂量-效应曲线，其参数与SPSS软件拟合的曲线一致，最大似然法拟合的二次多项式与CABAS软件拟合的曲线一致；用Excel拟合曲线的方法所得的曲线参数与文献中示例的曲线拟合参数一致。 结论 Excel软件可用于辐射生物剂量-效应曲线的拟合和建立，方便实验室生物剂量估算，特别适合大批量样品的估算。 -
图 2 最大似然法曲线拟合的格式设计
注：工作表“数据”中各矩阵的名称定义：A为矩阵M_X（A15：C23）；B为矩阵M_N（E15：E23）；C为矩阵M_y0（G15：G23）；D为矩阵M_XT（A26：I28）；E为对角矩阵M_V0（L18：T26）；F为对角矩阵M_Vj；G为迭代次数与每次迭代后拟合的曲线参数；H为矩阵Vj，计算方法为上一次拟合参数计算畸变率与分析细胞数的商，其数值为对角矩阵M_Vj的数据引用来源；I为所列矩阵的数学表达式。
表 1 参数的公式组合列表
曲线类型 参数“公式组合” 直线方程 b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），1，1）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），1，2）” R2 “ = INDEX（LINEST（D_Y，D_1，1，1），3，1）” 二次多项式 c“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，1）” b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，2）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），1，3）” R2 “= INDEX（LINEST（D_Y，D_12，1，1），3，1）” 二次方程 b“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），1，1）” a“ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），1，2）” R2 “ = INDEX（LINEST（D_Y，D_2，1，1），3，1）” 幂函数 b“ = INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），1，1）” a“ = 10^（INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），1，2））” R2 “ = INDEX（LINEST（D_GD，D_GY，1，1），3，1）” 注：工作表“拟合”中单元格名称定义为：D_Y（D2：D10）、D_1（B2：B10）、D_12（B2：C10）、D_2（C2：C10）、D_GD（F3：F10）、D_GY（E3：E10），b为曲线的系数，a为曲线的常数，c为二次多项式二次项的系数。 
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表 2 Excel方法与其他软件所得拟合曲线参数比较
曲线类型 拟合方法 参数 a b c 直线方程
y=a+bD方法1 - 0.242 5 0.566 4 方法2 - 0.242 5 0.566 4 二次多项式
y=a+bD+cD2方法1 3.804 6 × 10-3 11.141 3 × 10-2 9.469 8 × 10-2 方法2 3.804 6 × 10-3 11.141 3 × 10-2 9.469 8 × 10-2 方法3 4.942 2 × 10-3 8.621 5 × 10-2 10.382 3 × 10-2 方法4 4.942 2 × 10-3 8.621 5 × 10-2 10.382 3 × 10-2 二次方程
y=a+ cD2方法1 7.341 4 × 10-2 11.638 6 × 10-2 方法2 7.341 4 × 10-2 11.638 6 × 10-2 幂函数y=axb 方法1 0.221 8 1.570 6 方法2 0.221 8 1.570 6 注：方法1为Excel软件最小二乘法，方法2为SPSS 19.0曲线估计，方法3为Excel软件最大似然法，方法4为CABAS曲线拟合。
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表 3 Excel方法拟合曲线与文献中曲线的比较
曲线类型 数据来源 参数 a b c R2 直线方程y=a+bD 方法1 - 0.232 4 0.428 9 0.938 2 文献A[8] - 0.232 4 0.428 9 0.938 2 二次多项式①y=a+bD+cD2 方法1 7.349 8 × 10-3 3.403 9 × 10-2 8.039 7 × 10-2 0.998 3 文献A[8] 7.351 2 × 10-3 3.403 7 × 10-2 8.039 7 × 10-2 0.998 3 二次方程y=a+cD2 方法1 3.186 × 10-2 8.684 × 10-2 0.997 9 文献A[8] 3.186 × 10-2 8.684 × 10-2 0.998 0 幂函数y=axb 方法1 0.1139 1.843 6 0.996 0 文献A[8] 0.1139 1.843 7 0.997 1 二次多项式y=a+bD+cD2 方法2 9.716 9 × 10-4 3.846 7 × 10-2 7.202 8 × 10-2 文献B [10] 9.72 × 10-4 3.85 × 10-2 7.20 × 10-2 注：方法1为Excel软件最小二乘法，方法2为Excel软件最大似然法；①方法1计算的F = 1 206.479 8，文献中给出的F = 1 204.882 4。
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